Теория электрических цепей

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Закон Ома
для участка проводника

где
I - ток в проводнике;

считая по направлению тока I

V₁ – потенциал узла 1 у начала проводника;
V₂ – потенциал узла 2 у конца проводника;

U=V₁ - V₂ - напряжение;

R – сопротивление участка проводника.

Обобщенный закон Ома

для ветви постоянного тока

где
I - постоянный ток в ветви;

считая по направлению тока I

V₁ – потенциал узла 1 у начала ветви;
V₂ – потенциал узла 2 у конца ветви;

R   – общее сопротивление ветви;
Sum(E) – алгебраическая сумма всех ЭДС ветви.
          E берется со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с направлением тока I,
        иначе «–».

Закон Ома
для одиночного замкнутого контура

где:
R – общее сопротивление контура;

I - постоянный ток в контуре;
Sum(E) – алгебраическая сумма всех ЭДС контура.
E берется со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с направлением тока I,
иначе «–».

Падение напряжения

U=R*I,
если направление напряжения U и тока I совпадают.

U=-R*I,
если направление напряжения U и тока I не совпадают.

Первый закон Кирхгофа
Алгебраическая сумма постоянных токов, притекающих к узлу, равна нулю.

где:

p - число токов в узле;
I_k - ток в ветви k.
Ток пишется со знаком +I_K , если он направлен к узлу
и –I_K – если от узла (или все наоборот).

Второй закон Кирхгофа
Алгебраическая сумма падений напряжений в контуре
равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре.

где:
m – число ветвей в контуре;
n – число источников ЭДС E_k в контуре;
R_k – общее сопротивление ветви k.

Обе суммы алгебраические!

Метод уравнений Кирхгофа

Метод уравнений Кирхгофа для анализа резистивных цепей заключается в следующем.
Дана электрическая цепь и значения всех элементов. Нужно найти все токи.

План анализа:
1. Произвольно выбрать направления всех токов в ветвях на исходной схеме.
2. Определить общее количество уравнений, которые необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

y = N_у – 1 первый закон Кирхгофа
K = N_в – N_у + 1 – N_т второй закон Кирхгофа,

где:
N_у — число узлов;
N_в — число ветвей;
N_т — число источников тока;
y — количество уравнений по первому закону Кирхгофа;
К — количество уравнений по второму закону Кирхгофа.

3. Записать y уравнений по первому закону Кирхгофа.

Sum(p, I_k) = 0,

где:
р — число токов в узле;
I_k — ток в ветви k.
Ток пишется со знаком +I_k , если он направлен от узла и –I_k — если к узлу (или все наоборот).

4. Выбрать k независимых контуров.
    Первый контур выбирается произвольно и в нем произвольно задается положительное направление обхода контура.
    Затем размыкают (мысленно) какую либо ветвь выбранного контура для того, чтобы по ней нельзя было пройти второй раз.
    В оставшейся цепи выбирают следующий контур и снова размыкают какую-либо ветвь и т.д..
    Затем для каждого выбранного контура записывают уравнения по второму закону Кирхгофа.

Sum(m, R_k * I_k) = Sum(n, E_k),

где:
m — число ветвей в контуре;
n — число источников ЭДС в контуре;
R — общее сопротивление ветви k.

ЭДС пишется со знаком “плюс”, если направление обхода выбранного контура совпадает с направлением ЭДС, и “минус”, если не совпадает.
Падение напряжения R_k*I_k записывают со знаком “плюс”, если направление обхода выбранного контура совпадает с направлением тока I_k, и “минус”, если не совпадает.

5. Получившуюся систему уравнений решают относительно токов.

Замечание. Следует помнить, что второй закон Кирхгофа в резистивных и только в резистивных цепях справедлив также для действующих, максимальных, амплитудных значений и размахов.

Метод контурных токов

Метод контурных токов для анализа резистивных цепей заключается в следующем.
Дана электрическая цепь и значения всех элементов. Нужно найти все токи.

План анализа:
1. Произвольно выбрать направления всех токов в ветвях на исходной схеме.
2. Выбрать K независимых контуров

К = N_в – N_у + 1 – N_т,

где:
N_в — число ветвей;
N_у — число узлов;
N_т — число источников тока.

3. Обозначить контурные токи I_ii так, что бы каждый из них проходил через один источник тока,
а оставшиеся К выбирают проходящими по ветвям, не содержащим источников тока.
4. Обходя каждый из независимых контуров в выбранном направлении, записать уравнения по второму закону Кирхгофа
и решить их относительно контурных токов.

    R₁₁*I₁₁ + R₁₂*I₁₂ + ... + R_1k*I_1k + Sum(J_n*R_n) = E₁₁
                          ...
    R_k1*I₁₁ + R_k2*I₁₂ + ... + R_kk*I_kk + Sum(J_n*R_n) = E_kk,

где:
R_nn — сумма сопротивлений всех ветвей контура n, т.е. собственное сопротивление контура n;
R_n — общее сопротивление ветви контура n с контуром, содержащим источник тока J;
R_ns — общее сопротивление контуров n и s, общее сопротивление контуров записывается со знаком “плюс”,
      если контурный ток I_nn совпадает по направлению с контурным током I_ss , иначе - со знаком “минус”;
E_nn — алгебраическая сумма ЭДС контура n. ЭДС записывается со nn знаком “плюс”,
если контурный ток Inn совпадает по направлению с направлением ЭДС, иначе - со знаком “минус”.

5. Вычислить истинные токи во всех ветвях, используя первый закон Кирхгофа, как алгебраическую сумму контурных токов,
протекающих по данной ветви.

I_n= Sum(I_nn).

Контурный ток I_nn записывают со знаком “плюс”, если он совпадает по направлению с током I_n, и “минус”, если не совпадает.

Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов для анализа резистивных цепей будет заключается в следующем.
Дана электрическая цепь и значения всех элементов. Нужно найти все токи.

План анализа:
1. Произвольно выбрать направления всех токов в ветвях на исходной схеме.
2. Положить равным нулю потенциал последнего узла. Определить количество уравнений N системы уравнений.

N = N_у – N_и – 1,
где:
N_у — число узлов;
N_и — число ветвей, содержащих только идеальные источники ЭДС.

3. Решить систему уравнений относительно потенциалов узлов V_i.

G₁₁* V₁ – G₁₂* V₂ – ... – G_1n*V_n = Sum_1( E * G) + Sum_1(J)

...
– G_n1*V₁ – G_n2*V₂ – ... + G_nn*V_n = Sum_n(E * G) +Sum_n(J) ,

где:
G_ss — сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу s, не содержащих источников тока;
G_sq — сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел s с узлом q;

Sum_s(E * G) — алгебраическая сумма произведения ЭДС ветвей, примыкающих к узлу s, на их проводимости.

Это произведение берется со знаком “плюс”, если ЭДС Е направлено к узлу s, иначе - “минус”;
Sum_s(J) — алгебраическая сумма источников тока, присоединенных к узлу s. Ток J берется со знаком “плюс”, если он направлен к узлу s, иначе - “минус”.

4. Вычисляют токи из обобщенного закона Ома или первого закона Кирхгофа.

Метод двух узлов

Для цепей, имеющих только два узла 1 и 2.

План анализа:
1. Произвольно выбрать направления всех токов в ветвях на исходной схеме.
2. Вычислить узловое напряжение, направленное от узла 1 к узлу 2.

U₁₂=(Sum(E_n*G_n)+Sum(J_n))/Sum(G_m),

где:

Sum(E_n*G_n) — алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей на проводимости этих ветвей.
             Это произведение берется со знаком “плюс”, если ЭДС Е направлено к узлу 1, иначе - “минус”;
Sum(J_n)    — алгебраическая сумма токов источников тока.
          Ток берется со знаком “плюс”, если он направлено к узлу 1, иначе - “минус”;
Sum(G_m)    — сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы 1 и 2.

3. Вычисляют токи из закона Ома.

I_k = (±U₁₂ ±E_k) * G_k,

где:
знак “плюс” выбирается, если направление тока в k ветви I_k совпадает с направлением U₁₂ и Е_k;
G_k- проводимость k ветви.

Метод наложения

Метод наложения (суперпозиции) целесообразно применять только для расчета линейных электрических цепей с небольшим количеством источников энергии.
Пусть дана электрическая цепь и значения всех элементов. Нужно найти все токи.

План анализа:
1. Произвольно выбрать направления всех токов в ветвях на исходной схеме и пронумеровать все независимые источники целыми числами 1, 2, ... n.
2. Положить равными нулю все источники ЭДС и тока кроме первого.
При этом независимые источники, ЭДС которых равны нулю заменить короткозамкнутыми отрезками,
    а независимые источники тока отключают.
    Если независимые источники имеют внутреннее сопротивление, то эти сопротивления должны оставаться на своих местах в схеме.
    Все зависимые источники остаются в схеме.
3. В полученной схеме с одним независимым источником любым методом, например “свертывания” и “развертывания”, рассчитать все частичные токи I'_i.
4. Аналогичным образом рассчитать все частичные токи I''_i только от второго источника (значения всех остальных источников полагают равными нулю).
   Затем только от третьего источника I'''_i и так далее до I_ni.
5. Вычислить истинные токи во всех ветвях на исходной схеме, как алгебраическую сумму всех частичных токов.

I_i = I'_i + I''_i + I'''_i + … + Iⁿ_i,
где:
i=1 ... N_в;
N_в — количество ветвей в исходной схеме.
Частичный ток берется со знаком “плюс”, если он совпадает по направлению с истинным током, и “минус”, если не совпадает.

Метод эквивалентного источника ЭДС

Метод эквивалентного источника ЭДС для анализа резистивных цепей заключается в следующем.
Дана электрическая цепь и значения всех элементов. Нужно найти только один ток I в заданной ветви ab.

План анализа:
1. Произвольно выбрать положительное направление искомого тока I в ветви ab на исходной схеме (схема №1).
2. Составить схему №2 исключив ветвь ab из исходной схемы №1.
В получившейся схеме №2 (без ветви ab) вычислить относительно зажимов ab любым методом напряжение холостого хода,
направление U_xx выбирают произвольно. Составить равенство E_эк = U_ХХ,
при этом направление E_эк на схеме №4 пункта 4 принять противоположным направлению U_xx.
3. Составить схему №3 для вычисления R_ЭК.
Для этого используют схему №2, в которой источники ЭДС заменяют короткозамкнутыми отрезками.
Источники тока отключают. Если источники имеют внутреннее сопротивление, то их сопротивления должны оставаться в схеме.
Используя эквивалентные преобразования, вычислить R_эк относительно зажимов ab.
4. Составить одноконтурную цепь (схема №4) с подключённой ветвью ab.

Заключительная схема №4 метода

По закону Ома для находят искомый ток.

I = (Sum(E_ab) + E_эк)/(Sum(R_ab) + R_эк),

где:
Sum(R_ab) — арифметическая сумма всех внешних и внутренних сопротивлений ветви ab;
Sum(E_ab) — алгебраическая сумма ЭДС ветви ab, ЭДС берется со знаком “плюс”,
если его положительное направление совпадает с направлением тока I, иначе берется со знаком “минус”.

Метод эквивалентного источника тока

Метод эквивалентного источника тока для анализа резистивных цепей заключается в следующем.
Дана электрическая цепь и значения всех элементов. Нужно найти только один ток I в заданной ветви ab.

План анализа:
1. Произвольно выбрать положительное направление искомого тока I ветви ab на исходной схеме №1.
2. Составить схему №2, заменив ветвь ab короткозамкнутым отрезком.
Направление тока короткого замыкания I_k выбрать совпадающим с направлением искомого тока I.
Вычислить любым методом ток короткого замыкания Ik. Составить равенство J_эк = I_k.
3. Составить схему №3 для вычисления R_эк. Для этого используют схему №2, в которой источники ЭДС заменяют короткозамкнутыми отрезками.
Источники тока отключают. Если источники имеют внутреннее сопротивление, то их сопротивления должны оставаться в схеме.
Используя эквивалентные преобразования, вычислить R_эк относительно разомкнутых зажимов ab.
4. Составить цепь (схема №4) с подключённой ветвью ab. При этом направление J_эк
на схеме №4 должно быть противоположным направлению I_k в схеме №2.

Заключительная схема №4 метода

По закону Ома для находят искомый ток.

          I=(J_эк*R_эк + Sum(E_ab))/(Sum(R_ab)+R_эк),
   где:
R_ab — арифметическая сумма всех внешних и внутренних сопротивлений ветви ab;
Sum(E_ab)— алгебраическая сумма ЭДС ветви ab, ЭДС берется со знаком “плюс”,
      если его положительное направление совпадает с направлением тока I,
      иначе берется со знаком “минус”.

Баланс мощностей

Для любых замкнутых цепей сумма мощностей источников электрической энергии Р_И, равна сумме мощностей, расходуемых в приемниках энергии Р_П.
Мощность источников указывает на то, какое количество работы они могут выполнить в электрической цепи каждую секунду.
Максимально допустимая мощность приемников это то, что в нормальных условиях может выдержать пассивный элемент.
Если превысить допустимую мощность резисторов, обычно указываемую на корпусе, то он может перегреться,
его проводящий слой разрушится, почернеет окраска корпуса и деталь выйдет из строя.

Мощность, отдаваемая источником ЭДС, равна

        P_И = E*I,

где:
Е — ЭДС источника (В);
I — ток (А), протекающий через этот источник,
    причем если положительное направление тока совпадает с направлением ЭДС,
    в противном случае P_И = -E*I;

P_И - мощность источника ЭДС E (Вт).

Мощность, отдаваемая источником тока, равна

P_И = U*J,

где:
J — ток источника тока J (А);

U — напряжение на источнике тока J;
причем если положительное направление тока совпадает с направлением U во внешней цепи,
в противном случае P_И = -U*J;

P_И - мощность источника тока J (Вт).

Мощность, выделяемая в приемнике, равна

Если в резисторе не происходит химических реакций, то мощность выделяется в форме тепла, согласно известному закону Джоуля.

P_П = R*I² ,
где:
I — постоянный ток (А), протекающий через резистор (приемник);
P_П — мощность потерь, измеряемая в ваттах (Вт);
R — сопротивление приемника (резистора) (Ом).

Общее количество теплоты, выделяемое током в цепи, не всегда совпадает с соответствующим джоулевым теплом.
Так на месте контакта двух различных проводников, помимо джоулева тепла, выделяется также,
так называемое тепло Пельтье, зависящее от сторонних ЭДС, определяемых в свою очередь химической природой проводников,
их температурой и т.д. При наличии в проводнике градиента температур в нем выделяется еще и теплота Томсона.

В большинстве практических случаев при небольших токах теплотой Пельтье и Томсона можно пренебрегать.

Равенство выражений мощностей источников и мощностей приемников называется уравнением баланса мощностей.

План составления баланса мощностей:
1. Если в цепи есть источники тока, то следует любым методом найти напряжения на зажимах источников тока U_k.

2. Вычислить мощность источников

где:
N — количество источников тока в цепи;
M — количество источников ЭДС в цепи;
U_k — напряжение на источниках тока J_k;

Sum(M, E_k*I_k) — алгебраическая сумма, здесь положительны те из слагаемых,
для которых направления ЭДС Е_k и соответствующего тока I_k совпадают,
в противном случаи слагаемое отрицательно;

Sum(N, U_k*J_k) — алгебраическая сумма, здесь положительны те из слагаемых,
для которых направление напряжения на зажимах источника тока U_k и направление его тока J_k во внешней
цепи совпадают, в противном случаи слагаемое отрицательно.

3. Вычислить мощность, расходуемую в приемниках.

где:
L — количество приемников в цепи (резисторов);

I_k - ток в k-ом приемнике (резисторе);

R_k - k-ый приемник (резистор).

Sum(L, R_k*I²_k) — арифметическая сумма, здесь должны быть учтены как внешние резисторы,
так и внутренние сопротивления самих источников.